Diciembre

Integral de Cauchy
Si f es analítica en D, un dominio simplemente conexo. Sea ϒ una curva cerrada simple en D, que encierra a Zo, entonces:

COROLARIO:

Propiedad 5

Fórmula de Cauchy para derivadas de orden superior

Si f es analítica en un dominio simplemente conexo D, y sea Zo en D, entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en Zo, y la "enésima" derivada de f en Zo, se calcula:

COROLARIO:

Sucesiones y Series

Se aplican los mismos criterios de análisis de convergencia que para sucesiones de series de números reales.

La serie Laurent, es la única que es propiamente de variable compleja.

Sucesiones
Las sucesiones se simbolizan: {Zn}=Zn

Propiedades:

1. Sea Zn=Xn+iYn, para cada entero positivo "n" y sea L=a+bi, entonces:

Suponiendo que Zn tiende L y Wn tiende K, entonces:

Series

Si sumamos los elementos de una sucesión se obtiene una sucesión que se la representa por:

Convergencia: Propiedades

1. Sea Zn=Xn+iYn, entonces:

2. 

3. 

Series especiales

SERIE GEOMÉTRICA

1. Es divergente si |z|>=1

2. Es absolutamente convergente si |z|<1

SERIE ARMÓNICA

Es divergente.

SERIE "p"

Es convergente si p>1

Es divergente si p<=1

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

1. De la razón de D'Alembert

2. Criterio de Cauchy (Criterio de la raíz)

3. Criterio de Comparación

Si la serie :

es absolutamente convergente sea otra serie Vn infinita, además un valor k>0 :

Radio y región de convergencia

Es el lugar en el espacio en el cual la serie converge. 

Se la puede encontrar con la desigualdad L<1, Obteniendo la siguiente expresión |Z-Zo|<r, Donde la región de convergencia es un disco de radio r y centro Zo.

SERIES DE POTENCIA

Series de Taylor

Si la función es analítica en Zo, entonces la serie de Taylor se la define como:

NOTA: Cuando Zo=0 se la conoce como Serie de McLaurin.

Se puede encontrar la serie de Taylor de una función de diferentes maneras:

* Por sustitución (cuando se conoce una serie de Taylor fundamental).

*Por división (Cuando al dividir el numerador para el denominador, se encuentra una relación en las serie de valores del cociente).

*Por derivación (cuando se conoce una serie de Taylor semejante y al derivarla se obtiene la serie de la función deseada).

Serie de Laurent

Si f(z) no es analítica en Zo, no admite desarrollo mediante la serie de Taylor, pero admite desarrollo mediante una serie de Laurent.

D: es la región de convergencia.

Sea F: D en C, función analítica dentro y sobre la frontera de D, entonces:

para todo Z perteneciente a D se tiene:

Tal que el primer término (la primera sumatoria) se le denomina parte analítica, y el segundo término (segunda sumatoria) se le llama parte principal.