Octubre

NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado.

     Unidad imaginaria

Se llama así al número  y se designa por la letra i.

Número complejo

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.                                       

                           Plano complejo

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a+0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario.

El punto (a,b), se llama su afijo,

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Suma y diferencia de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Producto de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

Cociente de números complejos

Números complejos en forma polar y trigonométrica

Módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

|z| = r       arg(z) = α          z = rα

.

Binómica	z = a + bi
Polar	z = rα
trigonométrica	z = r (cos α + i sen α)

Números complejos iguales, conjugados y opuestos

Iguales

Conjugados

Opuestos

Producto de complejos en forma polar

Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β

Cociente de complejos en forma polar

Potencia de complejos en forma polar

Fórmula de Moivre

Raíz n-ésima de complejos en forma polar

k = 0, 1, 2, 3,… (n-1)

Forma Trigonometrica o Polar de un complejo

Para expresar un número complejo en forma polar procedemos a encontrar el módulo del número complejo , también procedemos a encontrar el ángulo que el número complejo forma con el eje x positivo , simbólicamente esto se expresa así .

 
Entonces el número complejo (a + bi) expresado en forma polar es :

Funciones complejas de variable compleja

Recordemos que una función real f de variable real sobre un conjunto de números reales es una función que asigna a un número real x ∈D otro número real y = f(x).

Este concepto se generaliza fácilmente al caso complejo:

Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z ∈D otro número complejo w = f(z) y la representamos con la notación f : D→ℂ.

El conjunto D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f. Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.

Interpretación geométrica

Bola cerrada:

Bola B de centro a = Zo y radio r = E (epsilon) es igual a:

Bola abierta

Bola B de centro a = Zo y radio r = E (epsilon) es igual a:

 

Observaciones:

Las funciones de variable compleja tienen mucha similitud con las funciones de variable real, sin embargo, deben tomarse en cuenta ciertas definiciones propias de la variable compleja.

El estudio de límites, continuidad y derivación será muy similar al de las funciones reales de 2 variables.

Límites de una Variable Compleja

Sea  ƒ: D ⊆ C → C, una función compleja de variable compleja z, definida en la región D ⊆ C excepto posiblemente en Z0 entonces diremos que el límite de f(z) es el número complejo L cuando z se aproxima a Z0 , si y sólo sí, para todo ξ>0, existe un  δ>0, tal que:

0< ||z- Z0||< δ, entonces ||f(z) –L||< ξ

Propiedades:

Se dice que lim (z)→(z0) f(z) = ∞ si para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si |z − z0| < δ, entonces |f(z)| > M.

Se dice que lim (z)→∞ f(z) = l si para todo ε > 0 existe N > 0 tal que si |z| > N, entonces |f(z)−l| < ε.

Por último, diremos que lim (z)→∞ f(z) = ∞si para todo M > 0 existe N > 0 de manera que si |z| > N, entonces |f(z)| > M.

Los límites de funciones de variable compleja tienen las siguientes propiedades que son análogas a aquellas de los límites de funciones del plano.

(L1) Si el límite existe, entonces es único.

(L2) lim (z)→(z0)f(z) = l si y sólo si lim (z)→(z0) Ref(z) = Rel ylim (z)→(z0) Imf(z) = Iml.