Noviembre

Continuidad de una Función Compleja

Una vez estudiada la noción de límite de una función de variable compleja, pasamos a abordar la continuidad de las misma. Como en el caso real una función f : A ⊆ C → C se dirá continua en z0 ∈ A si existe el límite de f(z) cuando z→z0 y además lim (z)→(z0), f(z) = f(z0).

La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A.

Como no podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas la funciones coordenadas Ref e Imf.

Condiciones que se deben cumplir:

Derivadas de Funciones Complejas

Aunque la definición es idéntica en su forma a la derivada real, pues f : A ⊆ C → C se dirá derivable (también holomorfa) en z0 ∈ Int(A) si existe y es finito el límite.

Propiedades de la derivada de funciones complejas:

Ecuaciones de Cauchy Riemann

Si z = x+iy y f(z) = u(x; y)+iv(x; y), y f(z) es analítica en alguna región R en el plano z, entonces las dos ecuaciones:

conocidas como las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se satisfacen en todo R. Las funciones analíticas cumplen con estas ecuaciones.

Funciones armónicas 

Una función u : A ⊂ R2 → R es armónica en el abierto A si u ∈ C 2 (A), y se cumple:

Si f : A → C es analítica en el abierto A entonces u = Re f y v = Im f son armónicas en A. (Se dice que u y v son funciones armónicas conjugadas).

En efecto, veremos mas adelante que f analítica en A =⇒ u, v ∈ C∞(A). De las ecuaciones de Cauchy–Riemann se sigue que:

Si f = u + i v : A → C es anal´ıtica en el abierto A y f 0 no se anula en A, las dos familias de curvas planas u(x, y) = c1 y v(x, y) = c2 son ortogonales. 

En efecto, las dos familias de curvas son regulares, ya que de las ecs. de Cauchy– Riemann se sigue que:

                                  ∇u = 0 ⇐⇒ ux = uy = 0 =⇒ vx = vy = 0 =⇒ f 0 = 0,

y análogamente para v. Los vectores normales a las curvas u(x, y) = c1 y v(x, y) = c2 en un punto de intersección (x0, y0) son ortogonales, ya que :

∇u(x0, y0) · ∇v(x0, y0) = ux(x0, y0)vx(x0, y0) + uy(x0, y0)vy(x0, y0) = −ux(x0, y0)uy(x0, y0) + uy(x0, y0)ux(x0, y0) = 0,

por las ecuaciones de Cauchy–Riemann.

Funciones trascendentes

Función Logarítmica: 

f(z)=ln(z)=log(z)  ó  f(z)=ln r + i(&+2πk) → Valor General

Propiedades:

f(z)=ln(r+i&) es el valor principal → si k=0.

e^log(z)=z

log(e^z)=z+2πki

log(z*w)=log(z)+log(w)

log(z^r)=r*log(z)

z^w=e^[w*log(z)]

log(z/w)=log(z)-log(w)

Función Exponencial: 

f(z)=exp(z)  ó  f(z)=e^z

Propiedades: 

 e^iy=cos(y)+isen(y)

e^-iy=cos(y)-isen(y)

e^z+w=e^z*e^w

e^z≠0 para todo z ∈ C

e^-z=1/e^z

e^z/e^w=e^z-w

e^z=1 → z=2πki

e^z*e^w → z=w+2πki

Función Trigonométrica: 

f(z)=sen(z) ; f(z)=cos(z)

Propiedades:

sen(z)=(e^zi-e^-zi)/2i

cos(z)=(e^zi+e^-zi)/2

tg(z)=sen(z)/cos(z)

cos(x+yi)=cos(x)cosh(y)-sen(x)senh(y)

sen(x+yi)=sen(x)cosh(y)+cos(x)senh(y)

cos(z+2πk)=cos(z)

Función Hiperbólica: 

f(z)=senh(z) ; f(z)=cosh(z)

Propiedades:

senh(z)=(e^z-e^-z)/2

cosh(z)=(e^z+e^-z)/2

senh(iz)=isen(z)

cosh(iz)=cos(z)

Las integrales de funciones complejas de ´ variable real se definen como

donde se supone que u y v son funciones integrables en (a, b). Las integrales pueden ser impropias. Esta definicion se resume en las dos identidades

Las propiedades de estas integrales están heredadas de las de las integrales de ´ funciones reales: 

Integral indefinida

Si f(z) tiene anti derivada podemos evaluar la integral indefinida sea: 

F′(z)=f(z)

∫f(z)dz=F(z)+k; donde k ϵ C

Integrales de Línea

; f: D ⊆ C  →  C

              Z  → f (z)

Definición:

Sea z: [α , β] → R2    una función continua, tal que:

                                              &={ z(t) / α ≤  t ≤ β }

se dice que & es una curva DIFERENCIABLE (suave o regular que no presenta picos)  si se cumple:

                                      z'(t)  ≠ 0  ;  ∀ t ∈  [ α , β ] 

Definición: Las integrales de línea se definen solamente a lo largo de las curvas suaves, o suaves por intervalos.

Propiedades: 

·         Si & es una curva suave o suave por intervalos y f(z) es una función contínua , entonces existe:

          si existe  ∫ f(z) dz   y  existe  ∫ g(z) dz;  

               entonces.

·         ∫ [ f(z) + g(z) ] dz = ∫ f(z) dz  + ∫ g(z) dz    

·         ∫ & f(z)  dz = & ∫ f(z) dz   , & € C

·         ∫ f(z) dz = - ∫ f(z) dz 

 Si & es una curva suave representada por z = z(t)  para α ≤  t ≤ β  y f(z) es continua entonces: